全国硕士研究生招生考试 · 真题

2025 年考研数学（一）

第 04 题

单项选择题5 分只有一个选项符合题意

设函数 f(x, y) 连续，则

\int_{−2}^{2} d x \int_{4 - x^{2}}^{4} f (x, y) d y = ()

可以先选一个答案，再用下面的动画检验。

查看答案与选项区别

正确答案：A。 横向扫描时必须取左右两段。B 把中间不属于区域的部分也算入；C 将右段的积分上下限写反；D 需要左右两边积分相等，但题目只给出 f 连续，不能保证这一点。

交互讲解 · 二重积分交换次序

换个方向，为什么要分两段？

回到刚才的题目：亲手扫一遍区域，看看每个积分限从哪里来。

固定 x，先让 y 走完

左半区域右半区域

拖动画面中的竖线，或使用下方滑块。

固定竖线的位置 xx = −1.00

−22

这条竖线在区域内的部分

再想一步：左右对称，为什么不能直接乘 2？

区域左右一样大，只能说明面积相等。积分还要看每一点的 f(x,y) 是否相同。

当 f = 1 时，左右都在算面积，两边相等。

左半区域积分8/3

右半区域积分8/3

本例左右相等，可以用右半边的 2 倍。

这一页的目标：看到一个累次积分，能画出区域；改变扫描方向后，能判断是否需要分段。