∭看见数学
微积分 · 空间里的积分限先看懂空间，再写下积分。
一束从原点出发的射线，带你读懂球面与圆锥之间的区域。
原题
有界区域 Ω 由 z = √4 − x² − y² 与 z = √x² + y² 围成，f(u) 连续。如何改写 ∭Ω f(x² + y² + z²) dx dy dz？
曲面实验 / 一层一层，找到相交处
z = 0.80
上半球面圆锥面淡色平面：z = h
拖动旋转 · 圆锥仅画 0 ≤ z ≤ 2 的部分
0 · 原点√2 · 交线高度2 · 球顶
FUNCTION LAB · 把函数画出来
相交的不是一个点，而是一圈
用同一个水平面去切两个曲面：球的截面圆越切越小，圆锥的截面圆越切越大。
球面截面半径 √(4 − h²)1.833
圆锥截面半径 h0.800
球的截面圆更大，两个圆还没重合。
√(4 − h²) = h ⇒ 2h² = 4
h = √2，r = √2半径相等时，同一高度的两个同心圆完全重合。
h = √2，r = √2半径相等时，同一高度的两个同心圆完全重合。
因此交线是 x² + y² = 2，z = √2。
它到 z 轴的距离是 √2；交线上每一点到原点的距离仍然是 2。
01 / 两个曲面，一个区域
球面 ρ = 2圆锥 φ = 45°
过 z 轴剖开 · 只画 r ≥ 0 的半剖面
半剖面 · r = √(x² + y²)
拖动旋转视角 · 滑块移动 P 点
动手移动观察点 P改一个量，看空间如何响应
P 的坐标P 在 Ω 内
离原点的距离0 ≤ ρ ≤ 2
与 z 轴的夹角0 ≤ φ ≤ π/4
绕 z 轴的转角0 ≤ θ ≤ 2π
现在，试着选一次。
点击选项查看解释；错误范围会在二维剖面中标红。先找三个边界：球面限制距离，圆锥限制夹角，旋转对称决定整圈。选项 C、D 中的 r 是球半径，对应本演示的 ρ。
再想一步：如果用柱坐标，应该怎样写？
两曲面相交时，r = √(4 − r²)，所以 r = √2。固定 r 后，从圆锥 z = r 向上走，到球面 z = √(4 − r²) 停止。
注意区分：柱坐标的 r = √(x² + y²) 是到 z 轴的距离；球坐标的 ρ = √(x² + y² + z²) 是到原点的距离。